Matematika

Tematikos pavadinimas	Galimi moksliniai vadovai	Finansavimo šaltinis
Adaptyvių statistinių klasifikavimo metodų kūrimas esant duomenų heteroskedastiškumui	prof. dr. Tomas Ruzgas	valstybės finansuojama	Tyrimų tematikos aprašas. Šio tyrimo tikslas – sukurti ir ištirti adaptyvius klasifikavimo metodus, kurie būtų efektyvūs heteroskedastiškumo sąlygomis. Heteroskedastiškumas, kai duomenų dispersija kinta priklausomai nuo objekto savybių, yra dažnai pasitaikanti problema įvairiose srityse, tokiuose kaip ekonomika, medicina ir socialiniai mokslai. Tradiciniai klasifikavimo metodai gali būti neefektyvūs, kai duomenys turi nevienalytę struktūrą, todėl būtina sukurti naujus algoritmus, kurie galėtų tiksliai klasifikuoti heterogeninius duomenis. Tyrimo metu bus siekiama sukurti matematinį modelį, apibūdinantį objektų pasiskirstymą, ir sukurti procedūras, pagrįstas šiuo modeliu, kad būtų galima atlikti tikslų duomenų klasifikavimą. Be to, bus siūlomi metodai, kaip klasifikavimo algoritmuose integruoti papildomą informaciją apie objektų pozicijas ir kontekstą, kas padėtų dar labiau pagerinti klasifikavimo tikslumą. Tyrimo pabaigoje atliksime sukurtų ir alternatyvių procedūrų palyginimą, naudojant realius duomenis, kad įvertintume jų praktinį taikymą. Laukiami rezultatai apima aukštesnio tikslumo ir efektyvumo klasifikavimo procedūrų, pritaikytų heteroskedastiškiems duomenims, kūrimą. Šie rezultatai prisidės prie įvairių sričių – nuo finansų iki biomedicinos – sprendimų tobulinimo, užtikrinant tikslesnį duomenų analizavimą ir prognozavimą.
Agentais pagrįstų modelių taikymas finansinių rinkų tvariam augimui analizuoti ilguoju laikotarpiu	prof. dr. Audrius Kabašinskas	valstybės finansuojama
Bajeso statistikos taikymas ir būsenų erdvės modelio parametrų vertinimas derinant Markovo grandinės Monte Karlo ir dalelių filtracijos metodus	prof. dr. Robertas Alzbutas	valstybės finansuojama	Tyrimų tematikos aprašas. Tyrimo tikslas – sukurti bendrą metodologiją, kaip atlikti tikslų ir greitą Būsenų erdvės modelio parametrų vertinimą ir Bajeso statistkos taikymą derinant dalelių filtracijos ir Markovo grandinės Monte Karlo metodus. Uždaviniai susietai su laukiamais rezultatais: 1. Atlikti būsenų erdvės modeliavimo ir parametrų vertinimo su dalelių filtracijos ir MCMC metodais naujausios mokslinės literatūros analizę, sudaryti pradinę vertinimo metodologiją; 2. Apdoroti bandomuosius ir realius duomenis bei atlikti Bajeso statistikos taikymo tyrimus; 3. Išplėtoti dalelių MCMC algoritmą ir ištirti kitus tikslumą bei greitį lemiančius veiksnius; 4. Apžvelgti ir išbandyti MCMC algoritmo spartinimo galimybes, pvz. išlygiagretinimą; 5. Palyginti parametrų atnaujinimą su naujais ir įvairaus neapibrėžtumo duomenimis; 6. Mokslinių tyrimų rezultatų apibendrinimas ir galutinių pasiekimų viešinimas. Detalesnės informacijos apie tematiką ir susijusius MTEPI darbus teirautis vadovo.
DNR sąveikos su baltymais matematinis modeliavimas	doc. dr. Daiva Petkevičiūtė-Gerlach	valstybės finansuojama
Duomenų mokslas ir tikimybinis informacijos integravimo tyrimas diagnostikai ir rizikos paplitimo prognozavimui	prof. dr. Robertas Alzbutas	valstybės finansuojama	Tyrimų tematikos aprašas. Šio tyrimo tikslas yra duomenų mokslo plėtra ir informacijos integravimo metodikos sukūrimas bei bandomieji skaičiavimai skirti kaip galima tikslesniam diagnostikos ir rizikos paplitimo prognozavimui. Uždaviniai: 1. Apžvelgti ir palyginti Bajeso ir kitų informacijos integravimo metodų ir modelių bei susijusių programinių priemonių ir diagnostikai bei rizikos prognozavimui skirtų duomenų mokslo metodų taikymo galimybes. 2. Apibrėžti informacijos integravimo metodų ir atitinkamų modelių tikslumo metrikas, kriterijus bei jų vertinimo procedūras, nagrinėjant diagnostikos ir rizikos prognozavimui aktualius duomenis. 3. Išplėtoti ir pademonstruoti tas informacijos integravimo priemones, kurių taikymas padidina tikslumą ir/ar sumažina klaidingų sprendimų riziką. 4. Atlikti diagnostikos ir rizikos paplitimo prognozavimui skirtų metodų tyrimą ir modelių bandomuosius skaičiavimus ir sudaryti šių priemonių efektyvaus taikymo metodiką. Detalesnės informacijos teirautis tematikos mokslinio vadovo.
Matematiniai modeliai ekstremaliai perparametrizuotų neuroninių tinklų mokymosi režimams tirti	doc. dr. Tomas Iešmantas	valstybės finansuojama	Tyrimų tematikos aprašas. Perparametrizavimas ir su tuo susijęs dvigubo nusileidimo reiškinys yra svarbus aspektai indikuojantys, kaip labai gilūs neuroniniai tinklai mokosi. Indukuotieji poslinkiai, generalizuojamumo savybės, robastiškumas triukšmui, konvergavimo greitis – tai yra įvairūs statistinio mokymosi problemos, susijusios su perparametrizuotais mathematiniais modeliais, aspektai, kurie šiuo metu aktyviai tyrinėjami. Vis tik, yra nemažai iki šiol neišspręstų problemų, susijusių su modelių perparametrizavimu: dvigubo nusileidimo reiškinys nestandartinio mokymosi metu (pvz., mokymasis be priežiūros), kaip subalansuoti labai gilių neuroninių tinklų generalizuojamumo savybes su robastiškumu triukšmui, kaip kelių modalumų duomenų panaudojimas mokymosi metu keičia mokymosi dinamiką ir įvairius jos režimus ir t.t. Iš kitos pusės, svarbu išsiaiškinti praktines įvairių mokymosi režimų pasekmes (pavyzdžiui, taikymuose medicininėje diagnostikoje). Šio tyrimo tikslas yra taikant įvairias matematinio modeliavimo priemones (pavyzdžiui, atsitiktinių matricų teoriją) ištirti įvairius mokymosi režimus atsiskleidžiančius ekstremaliai perparametrizuotuose (t.y. toli už interpoliacijos ribos) neuroniniuose tinkluose ir susijusiuose modeliuose. Svarbi šio tyrimo dalis bus gautų rezultatų taikymas medicinos diagnostikos srityje, klasifikavimo ir regresijos modeliu kontekste. Pavyzdžiui, labai gilių neuroninių tinklų savybių ir perparametrizavimo įtakos išmokstamų reprezentacijų geometrijai išsiaiškinimas padėtų suprasti, kaip galimai išvengti netikrų koreliacijų mokymosi, dažnai nutinkančio medicininių vaizdų klasifikavimo kontekste.
Mokėjimo sistemos, paremtos blokų grandinių technologija su nekomutatyvios kriptografijos elementais, sukūrimas ir tyrimas	doc. dr. Aleksejus Michalkovič	valstybės finansuojama	Tyrimų tematikos aprašas. Blokų grandinių (blockchain) technologijos yra plačiai naudojamos šiuolaikiniame pasaulyje, o bitcoin kriptovaliutos pavadinimas yra žinomas beveik kiekvienam suaugusiam. Šios technologijos taip pat yra svarbios ir bankams, kur gali būti panaudotos mokėjimų sistemose. Didelį vaidmenį čia turi kriptografija. Būtent kriptografinių algoritmų dėka blokai yra jungiami į grandinę. Naudojami algoritmai turi būti saugūs, kad užtikrintų technologijos atsparumą kvantinei kriptoanaizei. Tačiau šiuo metu naudojamų kriptografiniai algoritmai neužtikrina pakankamos apsaugos nuo tokių atakų. Jau yra žinomi kvantiniai algoritmai, kurie gali būti sėkmingai pritaikyti tokių technologijų analizei. Taigi, yra svarbu pritaikyti nekomutatyvios kriptografijos elementus blokų grandinių technologijoms. Remiantis anksčiau paskelbtais mūsų mokslinės grupės atliktų tyrimų rezultatais, mes planuojame pasiūlyti mokėjimų sistemą, kuri būtų paremta kvantinei kriptoanalizei atsparia blokų grandinių technologija.
Ne Markovo tipo daugiapakopių būsenų modelių plėtiniai	doc. dr. Kristina Šutienė	valstybės finansuojama	Tyrimų tematikos aprašas. Daugiapakopių būsenų modeliai naudojami sudėtingiems procesams apibūdinti, kai yra kelios galimos būsenos ir perėjimai tarp jų. Šie modeliai leidžia detaliai analizuoti laike priklausomus įvykius ir įvertinti rizikas bei tikimybes, susijusias su skirtingomis baigtimis. Modeliuojant dažnai laikomasi prielaidos, jog daugiapakopis stochastinis procesas tenkina Markovo savybę, kuri dažnai neatitinka realaus pasaulio taikymų. Todėl šiame tyrime bus plėtojami ne Markovo tipo daugiapakopių būsenų modeliai, įvertinant galimą poveikį iš išorės, aprašomą erdviniais duomenimis, paneliniais duomenimis, šokais už sistemos ribų, priežastiniais ryšiais, trūkstamų duomenų rekonstrukcija ir pan., siekiant pagerinti modeliuojamos stochastinės sistemos dinamiką. Sprendžiami uždaviniai apima: esamo modelio plėtojimą ir formalizavimą, parametrų įvertinimą, perėjimo matricų ir jų tikimybių modeliavimą, palyginimą su esamais panašios klasės modeliais ir kt. Sukurti modeliai bus taikomi realaus pasaulio uždaviniams, siekiant pademonstruoti sukurtų modelių pranašumą. Galimos taikymo sritys apima finansus ir ekonomiką, sveikatos priežiūrą, inžineriją ir aplinkos tyrimus.
Neuroninių tinklų taikymas bakterijų elgsenos matematiniam modeliavimui	doc. dr. Paulius Palevičius	valstybės finansuojama	Tyrimų tematikos aprašas. Plonos plėvelės padengtos nanodalelimis, pasižyminčios antimikrobinėmis sąvybėmis, pastaraisiais metais sulaukia vis daugiau dėmesio dėl padidėjusio atsparumo antibiotikams. Bakterijų elgsenos supratimas yra labai svarbus mikrobiologijos, biotechnologijų ir sveikatos priežiūros srityse. Bakterijų elgesio modeliavimas ir prognozavimas gali suteikti įžvalgų apie bakterijų dinamiką, atsparumą antibiotikams ir ligų patogenezę. Siūloma tema siekiama pagerinti gebėjimą tiksliai ir efektyviai prognozuoti ir modeliuoti bakterijų elgesį, tam pasitelkiant matematinį modeliavimą ir neuroninius tinklus. Tyrimo tikslas – sukurti ir įvertinti matematiniu modeliavimu ir neuroniniais tinklais grįstą metodiką, skirtą bakterijų elgesio modeliavimui ant plonų plėvelių.
Pensijų sistemų matematiniai modeliai	prof. dr. Audrius Kabašinskas	valstybės finansuojama
Statistinių hipotezių tikrinimo kriterijų kūrimas ir tyrimas remiantis N-metrikos teorija	prof. dr. Tomas Ruzgas	valstybės finansuojama	Tyrimų tematikos aprašas. Statistinių hipotezių tikrinimas yra būtinas sprendimų priėmimo etapas šiuolaikinėje duomenų analizėje. Skirtingos duomenų analizės sritys, tokios kaip ekonomika, medicina ir socialiniai mokslai, reikalauja patikimų statistinių metodų, kadangi neteisingos prielaidos gali lemti netikslius rezultatus ir neteisingus sprendimus. Šio tyrimo aktualumas kyla dėl poreikio kurti adaptyvius kriterijus, kurie galėtų efektyviai tikrinti hipotezes, pvz., homogeniškumo, suderinamumo, simetriškumo ir nepriklausomumo, esant duomenų heterogeniškumui. Disertacijos tikslas – sukurti statistinius kriterijus, kurie, remdamiesi N-metrikų teorija, būtų jautrūs skirtingiems duomenų pasiskirstymo tipams ir pasižymėtų dideliu efektyvumu. Tyrimo metu bus analizuojama, kaip N-metrikų teorija gali būti pritaikoma skirtingų hipotezių tikrinimui, vertinant jų efektyvumą pagal Bahaduro asimptotinį santykinį efektyvumą. Tikimasi, kad šie kriterijai suteiks didesnį tikslumą ir patikimumą tiek praktikoje, tiek teorijoje. Be to, tyrime bus atliktas sukurtų metodų palyginimas su klasikiniais kriterijais, naudojant realių duomenų ir Monte-Karlo modeliavimo metodą. Tikimasi sukurti naujus, adaptyvius ir galingus statistinius hipotezių tikrinimo kriterijus, kurie bus pritaikyti praktikoje. Jie padės užtikrinti tikslesnę duomenų analizę, leidžiančią priimti pagrįstus sprendimus įvairiose srityse.
Susietų matricinių iteracinių modelių tinklų matematiniai aspektai	doc. dr. Rasa Šmidtaitė	valstybės finansuojama	Tyrimų tematikos aprašas. Aktualumas. Susietų iteracinių modelių tinklai (angl. Coupled Map Lattice (CML)) yra plačiai naudojami ir taikomi dinaminių sistemų tyrimuose. Matriciniai iteraciniai modeliai (angl. Coupled Map Lattice of Matrices (CMLM)) tai nauja modelių klasė ir perspektyvi tyrimų sritis pristatyta dar 2018 m. siūlomos disertacijos tematikos autorės kartu su bendraautoriais. Matriciniai iteraciniai modeliai ir jų tinklai buvo pristatyti ir tebevykstantys tyrimai pristatomi aukšto lygio moksliniuose žurnaluose - kas parodo tyrimo svarbą ir taikymų galimybes. Randasi vis daugiau publikacijų, kuriose cituojami taikomi CMLM modeliai bei sulaukiama vis didesnio mokslininkų dėmesio, norinčių bendradarbiauti apjungiant jų pačių ir CMLM tyrimų tematikas. Mokslinio tyrimo problema - nagrinėti CMLM uždavinius, siekiančius ištirti ir pritaikyti dar niekada nenagrinėtus matricinius nxn eilės CML. Mokslinio tyrimo tikslas - ištirti ir pritaikyti matricinių nxn eilės iteracinių modelių tinklus. Literatūroje nagrinėjamų skaliarinių iteracinių modelių tinklų ir su jais susijusių tyrimų gausa tik patvirtina begalę galimų krypčių, kuriomis galima keliauti įvedant ir pristatant naujus matricinius iteracinių modelių plėtinius. Visgi galima įvardinti ir konkretesnius spręstinus uždavinius: pereinamųjų procesų (pvz., bėgančių ar spiralinių bangų, solitonų, chimerų) tyrimas susietų matricinių iteracinių modelių tinkluose; divergavimo procesų tyrimas ir taikymas susietų matricinių iteracinių modelių tinkluose bei nestabilių sprendinių laikinas stabilizavimas susietų matricinių iteracinių modelių tinkluose. Siūlomais tyrimais siekiama suintensyvinti proveržį atitinkamose srityse garantuojančius CMLM tyrimus.